ठोस बेलन एवं खोखला बेलन | Solid Cylinder And Hollow Cylinder

ठोस बेलन एक वृत्ताकार आधार पर बनी त्रिविमीय (3D) आकृति है। कोई भी छड़ या तार जिसका लंबाई हो एवं वह वृत्ताकार आकृति का हो तो वह एक बेलन कहलाएगा।

ठोस बेलन से संबन्धित सभी महत्वपूर्ण सूत्र
सूत्र से संबन्धित संकेत:- बेलन की त्रिज्या = 'R' , बेलन की ऊंचाई = 'h'
बेलन का आयतन = πR²h
$$बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (वक्रपृष्ठ) = 2πRh
बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πRh + 2πR² = 2πR (h + R)

खोखला बेलन | Hollow Cylinder

Image Source;- Wikipedia

खोखले बेलन से संबन्धित सभी महत्वपूर्ण सूत्र
सूत्र से संबन्धित संकेत:- बेलन की वाह्य त्रिज्या = 'R' , बेलन का आंतरिक त्रिज्या = 'r' , बेलन की ऊंचाई = 'h'
खोखले बेलन का आयतन = πR²h - πr²h = πh(R²-r²)
खोखले बेलन के वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल = π (R²-r²)
$$खोखले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (वक्रपृष्ठ) = बेलन का बाह्य क्षेत्रफल + बेलन का आंतरिक भाग का क्षेत्रफल                               = 2πRh + 2πrh = 2πh (R+r)
खोखले बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = बेलन का बाह्य क्षेत्रफल + बेलन का आंतरिक भाग का क्षेत्रफल + दोनों आधारों का क्षेत्रफल                              = 2πh (R+r) + 2π (R²-r²)                                 या 2π (R+r) (R-r+h)

विगत वर्षों में बेलन पर आधारित पुछे गए प्रश्न

प्रश्न :- लोहे की चादर 50 सेमी × 100 सेमी माप के एक आयताकार टुकड़े को रोलकर 50 सेमी ऊंचे बेलन का रूप दिया गया, यदि बेलन की रंगाई का खर्च 50 रुपये प्रति वर्ग मीटर हो तो बेलन की बाहरी सतह की रंगाई का खर्च क्या होगा? ...(UPSC-2000)

A) 25 रुपये

B) 37 रुपये

C) 45 रुपये

D) 35 रुपये

हल:-  बेलन की परिधि, आयत की दी गयी चौड़ाई 100 सेमी के बराबर होगी...

           अर्थात, 2πR = 100 सेमी

       बेलन की ऊंचाई 'h' = 50 सेमी

      बेलन की बाहरी सतह (वक्रपृष्ठ) = 2πRh = 100 × 50 = 5000 वर्ग सेमी 

प्रश्न में दिया है कि 1 वर्ग मीटर रंगाई का खर्च = 50 रुपये 

  अर्थात, 10000 वर्ग सेमी रंगाई का खर्च = 50 रुपये 

  अतः 5000 वर्ग सेमी रंगाई का खर्च = 50/2 = 25 रुपये

प्रश्न :- दो बेलनो की त्रिज्याएँ 2:3 के अनुपात में है तथा उनकी ऊंचाइया 5:3 के अनुपात में है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा? ...(UPPCS-2015)

A) 7:16

B) 10;17

C) 20:27

D) 17:27

हल:-  पहले बेलन की त्रिज्या 'R' = 2 तथा दूसरे बेलन की त्रिज्या 'r' = 3

 एवं पहले बेलन की ऊंचाई 'H" = 5 तथा दूसरे बेलन की ऊंचाई 'h" = 3 

बेलन  के आयतनों का अनुपात  = πR²H / πr²h = (2 × 2 × 5) / (3 × 3 × 3)

अतः बेलन  के आयतनों का अनुपात  = 20:27

⭐ Note: यह लेख  UPSC - Csat एवं विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है।